PREDICADOS FUNCTORES: BITÁCORA DE CAYETANO ACUÑA VIGIL: WACHSAM.

FUNCTORES

En teoría de categorías un funtor o functor es una función de una categoría a otra que lleva objetos a objetos y morfismos a morfismos de manera que la composición de morfismos y las identidades se preserven.

Los funtores primero se consideraron en topología algebraica, donde se asocian los objetos algebraicos con los espacios topológicos y se asocian los homomorfismos algebraicos con funciones continuas. Hoy en día, los funtores se utilizan a través de las matemáticas modernas para relacionar varias categorías.

Ejemplos de functores típicos son el funtor fiel y el funtor pleno.

Definición

Dejemos que C y D sean categorías. Un funtor F de C a D es una correspondencia que(Jacobson, 2009, p. 19, def. 1.2)

• asocia a cada objeto ${\displaystyle X}$ en C a un objeto ${\displaystyle F(X)}$ en D,
• asocia cada morfismo ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ en C a un morfismo ${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$ en D de tal manera que las siguientes dos condiciones se mantienen:
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ para todo objeto ${\displaystyle X}$ en C,
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$ para todos los morfismos ${\displaystyle f\colon X\to Y\,\!}$ y ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ en C.

Es decir, los funtores deben conservar los morfismos de identidad y la composición de morfismos.

Véase también

• Teoría de categorías
• Límite de un funtor

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 2 (2nd edición), Dover, ISBN 978-0-486-
• 47187-7.
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Lógica de primer orden

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Una lógica de primer orden, también llamada lógica predicativa, lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden.¹​ 

Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan solo a variables de individuo, y con predicados y funciones cuyos argumentos son solo constantes o variables de individuo.²​

La lógica de primer orden tiene un poder expresivo superior al de la lógica proposicional.

Predicados

Un predicado es una expresión lingüística que se puede conectar con una o varias otras expresiones para formar una oración.³​ Por ejemplo, en la oración «Marte es un planeta», la expresión «es un planeta» es un predicado que se conecta con la expresión «Marte» para formar una oración. 

Y en la oración «Júpiter es más grande que Marte», la expresión «es más grande que» es un predicado que se conecta con dos expresiones, «Júpiter» y «Marte», para formar una oración.

En lógica matemática, cuando un predicado se conecta con una expresión, se dice que expresa una propiedad (como la propiedad de ser un planeta), y cuando se conecta con dos o más expresiones, se dice que expresa una relación (como la relación de ser más grande que). 

Sin embargo, la lógica de primer orden no hace ningún supuesto sobre si existen o no las propiedades o las relaciones. Solo se ocupa de estudiar el modo en que hablamos y razonamos con expresiones lingüísticas.

En la lógica de primer orden, los predicados son tratados como funciones. Una función es, metafóricamente hablando, una máquina que recibe un conjunto de cosas, las procesa, y devuelve como resultado una única cosa. A las cosas que entran a las funciones se las llama argumentos,⁴​ y a las cosas que salen, valores o imágenes. Considérese por ejemplo la siguiente función matemática:

f(x) = 2x

Esta función toma números como argumentos y devuelve más números como valores. Por ejemplo, si toma el número 1, devuelve el número 2, y si toma el 5, devuelve el 10. 

En la lógica de primer orden, se propone tratar a los predicados como funciones que no solo toman números como argumentos, sino expresiones como «Marte», «Mercurio» y otras que se verán más adelante. 

De este modo, la oración «Marte es un planeta» puede transcribirse, siguiendo la notación propia de las funciones, de la siguiente manera:

Planeta(Marte)

O, más abreviadamente:

P(m)

En la matemática existen además funciones que toman varios argumentos. Por ejemplo:

f(x,y) = x + y

Esta función, si toma los números 1 y 2, devuelve el número 3, y si toma el -5 y el -3, devuelve el -8. Siguiendo esta idea, la lógica de primer orden trata a los predicados que expresan relaciones, como funciones que toman dos o más argumentos. Por ejemplo, la oración «Caín mató a Abel» se puede formalizar así:

Mató(Caín,Abel)

O abreviando:

M(c,a)

Este procedimiento se puede extender para tratar con predicados que expresan relaciones entre muchas entidades. Por ejemplo, la oración «Ana está sentada entre Bruno y Carlos» puede formalizarse:

S(a,b,c)

Constantes de individuo

Una constante de individuo es una expresión lingüística que refiere a una entidad. Por ejemplo «Marte», «Júpiter», «Caín» y «Abel» son constantes de individuo. También lo son las expresiones «1», «2», etc., que refieren a números. Una entidad no tiene que existir para que se pueda hablar acerca de ella, de modo que la lógica de primer orden tampoco hace supuestos acerca de la existencia o no de las entidades a las que refieren sus constantes de individuo.

Variables de individuo

Además de las constantes de individuo que hacen referencia a entidades determinadas, la lógica de primer orden cuenta con otras expresiones, las variables, cuya referencia no está determinada. Su función es similar a la de las expresiones del lenguaje natural como «él», «ella», «esto», «eso» y «aquello», cuyo referente varía con el contexto. 

Las variables generalmente se representan con letras minúsculas cerca del final del alfabeto latino, principalmente la x, y y z. Del mismo modo, en la matemática, la x en la función f(x) = 2x no representa ningún número en particular, sino que es algo así como un espacio vacío donde se pueden insertar distintos números. En conclusión, podemos representar una expresión como «esto es antiguo» con la expresión:

Antiguo(x)

O abreviadamente:

A(x)

Es evidente, sin embargo, que hasta que no se determine a qué refiere la x, no es posible asignar un valor de verdad a la expresión «esto es antiguo», del mismo modo que hasta que no se determine un número para la x en la función f(x) = 2x, no será posible calcular ningún valor para la función.

Por supuesto, al igual que con las constantes de individuo, las variables sirven también para formalizar relaciones. Por ejemplo, la oración «esto es más grande que aquello» se formaliza:

G(x,y)

Y también se pueden combinar constantes de individuo con variables. Por ejemplo en la oración «ella está sentada entre Bruno y Carlos»:

S(x,b,c)

Cuantificadores

Considérese ahora la siguiente expresión matemática:

x > 3

Esta expresión no es ni verdadera ni falsa, y parece que no lo será hasta que no reemplacemos a la x por algún número cualquiera. Sin embargo, también es posible dar un valor de verdad a la expresión si se le antepone un cuantificador. 

Un cuantificador es un operador sobre un conjunto de individuos, se trata de un recurso expresivo que permite construir proposiciones sobre conjuntos o dicho de otra forma,⁵​ un cuantificador es una expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de individuos.⁶​ 

En la lógica clásica, los dos cuantificadores más estudiados son el cuantificador universal y el cuantificador existencial.⁶​ El primero afirma que una condición se cumple para todos los individuos de los que se está hablando,⁶​ y el segundo que se cumple para al menos uno de los individuos.⁶​ Por ejemplo, la expresión "para todo x" es un cuantificador universal, que antepuesto a "x < 3", produce:

Para todo x, x < 3

Esta es una expresión con valor de verdad, en particular, una expresión falsa, pues existen muchos números (muchos x) que son mayores que tres. Anteponiendo en cambio la expresión "para al menos un x", un cuantificador existencial, se obtiene:

Para al menos un x, x < 3

La cual resulta ser una expresión verdadera.

Adviértase ahora, sin embargo, que el valor de verdad de las dos expresiones anteriores depende de qué números se esté hablando. Si cuando se afirma "para todo x, x < 3", se está hablando solo de los números negativos, por ejemplo, entonces la afirmación es verdadera. 

Y si al afirmar "para al menos un x, x < 3" se está hablando solamente de los números 3, 4 y 5, entonces la afirmación es falsa. En lógica, a aquello de lo que se está hablando cuando se usa algún cuantificador, se lo llama el dominio de discurso.⁷​

Esta maquinaria se puede adaptar fácilmente para formalizar oraciones con cuantificadores del lenguaje natural. Tómese por caso la afirmación "todos son amigables". Esta oración se puede traducir así:

Para todo x, x es amigable.

Y una oración como "alguien está mintiendo" puede traducirse:

Para al menos un x, x está mintiendo.

También es frecuente traducir esta última oración así:

Existe al menos un x, tal que x está mintiendo.

A continuación se formalizan ambas oraciones, introduciendo a la vez la notación especial para los cuantificadores:

Para todo x, x es amigable.	∀x A(x)
Existe al menos un x, tal que x está mintiendo.	∃x M(x)

Conectivas

Artículo principal: Lógica proposicional

La lógica de primer orden incorpora además las conectivas de la lógica proposicional. Combinando las conectivas con los predicados, constantes, variables y cuantificadores, es posible formalizar oraciones como las siguientes:

Oración	Formalización
Sócrates es sabio y prudente.	Ss ∧ Ps
Si Sócrates es sabio, entonces también es prudente.	Ss → Ps
Nadie es sabio y además prudente.	¬∃x (Sx ∧ Px)
Todos los sabios son prudentes.	∀x (Sx → Px)

Argumentos

Considérese el siguiente argumento clásico:

1. Todos los hombres son mortales.
2. Sócrates es un hombre.
3. Por lo tanto, Sócrates es mortal.

La tarea de la lógica de primer orden consiste en determinar por qué los argumentos como este resultan válidos. Para eso, el primer paso es traducirlos a un lenguaje más preciso, que pueda ser analizado mediante métodos formales. Según lo visto más arriba, la formalización de este argumento es la siguiente:

1. ∀x (Hx → Mx)
2. Hs
3. ∴ Ms

Sistema formal

A continuación se define un lenguaje formal, Q, y luego se definen axiomas y reglas de inferencia sobre ese lenguaje que dan como resultado el sistema lógico SQ.

Sintaxis

El alfabeto del lenguaje formal Q consta de los siguientes símbolos:

a   x   f   P   *   '   ¬   ∧   ∨   →   ↔   ∀   ∃   (   )

A partir de estos símbolos, se definen las siguientes nociones:

Un nombre (o constante de individuo) es una a seguida de una o más comillas. Por ejemplo, a', a'' y a'''''' son nombres. Para facilitar la lectura, se suelen omitir las comillas y utilizar distintas letras cerca del comienzo del alfabeto latino, con o sin subíndices, para distinguir nombres distintos: a, b, c, d, e, a₁, a₃, c₉, etc.

Una variable (o variable de individuo) es una x seguida de una o más comillas. Por ejemplo, x', x'' y x'''''' son variables. Para facilitar la lectura, se suelen omitir las comillas y utilizar distintas letras cerca del final del alfabeto latino, con o sin subíndices, para distinguir variables distintas: x, y, z, x₁, x₃, z₉, etc.

Un functor es una f seguida de uno o más asteriscos, y luego de una o más comillas. Por ejemplo, f *', f **'''' y f ****'' son functores. El número de asteriscos indica la aridad del functor. Para facilitar la lectura, se suelen omitir los asteriscos y las comillas y utilizar distintas letras del alfabeto latino cerca de la f, con o sin subíndices, para distinguir functores distintos: f, g, h, f₁, f₃, h₉, etc.

Un predicado es una P seguida de uno o más asteriscos, y luego de una o más comillas. Por ejemplo, P *', P **'''' y P ****'' son predicados. El número de asteriscos indica la aridad del predicado. Para facilitar la lectura, se suelen omitir los asteriscos y las comillas y utilizar distintas letras en mayúscula a lo largo del alfabeto latino para distinguir predicados distintos: P, A, B, C, S, T, etc.

La noción de término se define recursivamente mediante las siguientes cláusulas:

1. Todos los nombres son términos.
2. Todas las variables son términos.
3. Si f es un functor de aridad n ≥ 1 y t₁,...,t_n son términos, entonces f(t₁,...,t_n) es un término.
4. Nada más es un término.

Según esta definición, las siguientes cadenas de caracteres son términos:

Cadena	Simplificación	Posible interpretación
a'	a	Aristóteles
x'''''	y
f *'''(a''')	h(c)	El hermano de Caín
f *''(f *''(f *''(a')))	f(f(f(b)))	El padre del padre del padre de Beatriz

Y en cambio, las siguientes cadenas de caracteres no son términos:

Cadena	Error
a	Faltan comillas.
x*'''	Sobra el asterisco.
f '	Faltan asteriscos y argumentos.
f **	Faltan comillas y argumentos.
f *'(f *')	Falta el argumento del functor más anidado.
f *'(a',a'')	El functor es de aridad 1 pero tiene dos argumentos.

La noción de fórmula bien formada de Q se define a través de las siguientes cláusulas:

1. Si P es un predicado de aridad n ≥ 1 y t₁,...,t_n son términos, entonces P(t₁,...,t_n) es una fórmula bien formada.
2. Si A es una fórmula bien formada, entonces ¬A también lo es.
3. Si A y B son fórmulas bien formadas, entonces (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) y (A ↔ B) también lo son.
4. Si A es una fórmula bien formada y x es una variable, entonces ∀x A y ∃x A son fórmulas bien formadas.
5. Nada más es una fórmula bien formada.

Según esta definición, las siguientes cadenas de caracteres son fórmulas bien formadas:

Cadena	Simplificación	Posible interpretación
P *'(a')	Pa	Abel es pastor.
P **''''(a'',a''')	Aae	Abelardo ama a Eloísa.
¬P *'(f *'(a'))	¬P(h(a))	El hermano de Abel no es pastor.
(P *'''(a'') → ¬P *'''''(a''))	Pv → ¬Ev	Si Venus es un planeta, entonces no es una estrella.
∀x'' P *'''(x'')	∀x Mx	Todos son mentirosos.
∀x'' ∃x'''' P **'(x'',x'''')	∀x ∃y Axy	Todos aman a alguien.
∃x'' ∀x'''' P **'(x'',x'''')	∃x ∀y Axy	Alguien ama a todos.

Y en cambio, las siguientes cadenas de caracteres no son fórmulas bien formadas:

Cadena	Error
P *'	El predicado es de aridad 1 pero no tiene argumentos.
P ***'(a')	El predicado es de aridad 3 pero tiene un solo argumento.
P *'(a') → P *'(a''')	Faltan los paréntesis externos.
(P *'(a'))	Sobran los paréntesis externos.
∀a' P *'(a')	El cuantificador está seguido de un nombre en vez de una variable.

Para ciertos predicados muy utilizados, la notación estándar puede tener la forma a R b en vez de R(a,b). Por ejemplo, se escribe 2 > 1 en vez de >(2,1), y 4 = 4 en vez de =(4,4). Análogamente, si f es un functor de aridad 2, a veces se escribe a f b en vez de f(a,b). Por ejemplo, se escribe 1 + 2 en vez de +(1,2).

Observaciones

• El símbolo de identidad a veces se incluye entre los símbolos primitivos del alfabeto y se comporta sintácticamente como un predicado binario. A una lógica de primer orden que incluye el símbolo de identidad se la llama, justamente, lógica de primer orden con identidad.
• Los nombres pueden ser definidos como functores de aridad 0, de modo que es posible omitir la a de entre los símbolos primitivos.
• En la definición anterior se requiere que los predicados tengan aridad mayor o igual que 1. Es posible permitir predicados de aridad 0, considerándolos como variables proposicionales de la lógica proposicional.
• Es posible reducir el número de símbolos primitivos hasta quedarse con solo nueve: x   f   P   *   '   ↓   ∀   (   )
• Hay diferentes convenciones acerca de dónde poner los paréntesis. Por ejemplo, algunos escriben (∀x) en vez de ∀x. A veces se usan dos puntos (:) o un punto (.) en vez de paréntesis para desambiguar fórmulas. 
• Una notación interesante pero poco usual es la notación polaca, donde se omiten todos los paréntesis y se escribe ∧, ∨, delante de los argumentos en vez de entre ellos. La notación polaca es compacta pero poco común por ser difícil para ser leída por los humanos.
• Una observación técnica es que si existe un símbolo de función de aridad 2 representando el par ordenado (o símbolo de predicado de aridad 2 representando la relación) no se necesitan funciones y predicados de aridad mayor que 2.
• Usualmente se considera que el conjunto de constantes, funciones y relaciones forman un lenguaje, mientras que las variables, los operadores lógicos y cuantificadores se los considera pertenecientes a la lógica. 
• Por ejemplo, el lenguaje de la teoría de grupos consiste de una constante (el elemento identidad), una función de aridad 1 (la inversa), una función de aridad 2 (el producto), y una relación de aridad 2 (la igualdad), omitida por los autores que incluyen la igualdad en la lógica subyacente.

Substitución de variables libres

Las nociones de variable libre y variable ligada se introducen para evitar un posible error en el proceso de substitución. Supongamos por un momento la fórmula ${\displaystyle \forall x(x\leq y)}$. Intuitivamente, esta fórmula dice que para todo x, x es menor o igual que y (es decir, que y es máximo). 

Dicho de una manera más general, si t es un término y ${\displaystyle \phi (x)\,}$ es una fórmula que posiblemente contiene a x como una variable libre, entonces ${\displaystyle \phi (t)\,}$ es el resultado de substituir todas las apariciones libres de x por t, suponiendo que ninguna variable libre en t se vuelva ligada en este proceso. 

Identidad

Hay varias maneras diferentes de introducir la noción de identidad en la lógica de primer orden, pero todas con esencialmente las mismas consecuencias. Esta sección resume las principales:

• La manera más común de introducir a la identidad es incluyendo al símbolo entre los primitivos, y agregando axiomas que definan el comportamiento del mismo. Estos son:

${\displaystyle \forall x(x=x)}$

${\displaystyle \forall x\forall y{\bigg (}(x=y)\to \forall f{\Big (}(f(...x...)=f(...y...){\Big )}{\bigg )}}$

${\displaystyle \forall x\forall y{\bigg (}(x=y)\to \forall P{\Big (}(P(...x...)\leftrightarrow P(...y...){\Big )}{\bigg )}}$

• Otra manera es incluir al símbolo de identidad como una de las relaciones de la teoría y agregar los axiomas de identidad a la teoría. En la práctica esta convención es casi indistinguible de la anterior, salvo en el caso inusual de las teorías sin noción de identidad. Los axiomas son los mismos. La única diferencia es que unos se llaman axiomas lógicos y los otros axiomas de la teoría.
• En las teorías sin funciones y con un número finito de relaciones, es posible definir la identidad en términos de las relaciones. Esto se hace definiendo que dos términos a y b son iguales si y solo si ninguna relación presenta cambios reemplazando a por b en cualquier argumento. 
• Por ejemplo, en teoría de conjuntos con una relación de pertenencia (∈), definiríamos a = b como una abreviación para ∀x [(a ∈ x) ↔ (b ∈ x)] ∧ [(x ∈ a) ↔ (x ∈ b)]. Esta definición de identidad automáticamente satisface los axiomas de identidad.
• En algunas teorías es posible dar definiciones ad hoc para la identidad. Por ejemplo, en una teoría de órdenes parciales con una relación de menor o igual (≤) podríamos definir a = b como una abreviación para (a ≤ b) ∧ (b ≤ a).

Si alguna variable libre de t se volviera ligada, entonces para substituir t por x se necesita cambiar los nombres de las variables ligadas de ${\displaystyle \phi (x)\,}$ por otros que no coincidan con las variables libres de t.

En esta fórmula, y es una variable libre, o sea que no está bajo el alcance de ningún cuantificador. Si substituimos y por cualquier otro término t, entonces la fórmula pasará a decir que t es máximo. 

Pero supongamos ahora que substituimos a y por x mismo (a fin de cuentas, x es un término). En ese caso, y pasa a estar ligada por un cuantificador universal, porque la nueva fórmula es: ${\displaystyle \forall x(x\leq x)}$. Pero esta fórmula ya no dice de un término que es máximo, sino algo muy distinto. 

Para evitar este tipo de desplazamiento de significado, convenimos que al substituir una variable libre por un término cualquiera, hay que evitar que las variables libres en el nuevo término queden ligadas por algún cuantificador. Es decir, que permanezcan libres.

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