LÓGICA FORMAL:
Percy Cayetano Acuña Vigil
Página1de16 LÓGICA FORMAL.
Percy Acuña Vigil1
En este escrito se presenta información sintetizada sobre lógica formal y sobre los aportes a ella a partir del trabajo de Gottlob Frege.
Contenido LÓGICA FORMAL ........................................................
1. APORTES MODERNOS....................................................................................
1.1.Friedrich Ludwig Gottlob Frege...........................................................................
2. OTROS APORTES..........................................................................................
2.1. DAVID HILBERT..............................................................................................
2.2. GIUSEPPE PEANO.............................................................................................
2.3. GEORGE CANTOR.........................................................................................
2.4. ALFRED TARSKY............................................................................................
2.5. NOAM CHOMSKY....................................................................................
2.6. NICOLÁS BOURBAKI...............................................................................
2.7. BERTRAND RUSSELL:...................................................................................
2.8. HENRI POINCARÉ.........................................................................................
2.9. ALFRED TARSKI:.......................................................................................
2.10. TOMAS MORO SIMPSON...................................................................
2.11.PATRICK SUPPES:.....................................................................................
3. AXIOMATIZACIÓN DE LA LÓGICA.............................................................
La lógica formal, como un análisis explícito de los métodos de razonamientos, se desarrolló originalmente en tres civilizaciones de la historia antigua: China, India y Grecia entre el Siglo V y el Siglo I a. C. Sin embargo Aristóteles fue el primero en emplear el término “Lógica” para referirse al estudio de los argumentos dentro del "lenguaje apofántico2" como manifestador de la verdad en la ciencia.
Con Aristóteles nace la lógica formal. Aristóteles formalizó el cuadro de oposición de los juicios y las formas válidas del silogismo.
Aristóteles distingue dos tipos de logos: el logos semántico, que corresponde al lenguaje como tal y el logos apofántico, o logos proposicional. El logos semántico corresponde a los significados de los signos lingüísticos, es decir, a los conceptos. Se vincula con el conocimiento primario, intuitivo, anterior a la distinción entre existencia e inexistencia, entre verdad y falsedad.
Al contrario, el logos proposicional o apofántico corresponde al conocimiento que afirma o niega algo acerca de algo, al conocimiento de la ciencia, la cual sí está limitada por la existencia y la verdad. 3
El silogismo es una forma de razonamiento deductivo que consta de dos proposiciones como premisas y otra como conclusión, siendo la última una inferencia necesariamente deductiva de las otras dos. Fue
Aristóteles había llevado la lógica formal a su perfección, por lo que básicamente hasta entonces no había habido prácticamente modificaciones de importancia. Y lo justificaba al considerar que siendo la lógica una ciencia formal, era por ello analítica y a priori, lo que justifica su necesidad y su universalidad, pues es la razón la que trata consigo misma respecto a sus leyes del pensar, sin contenido de experiencia alguno.
La lógica es una ciencia formal y que por tanto, no tiene contenido, sino que simplemente estudia las formas válidas de inferencia4. Es el estudio de métodos y principios utilizados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. La lógica formal, se dedica al estudio de los razonamientos correctos. Pfander5 considera que la lógica es la ciencia sistemática de los pensamientos.
Kant la considera como una ciencia formal, es decir, aquella ciencia que estudia las formas del pensamiento prescindiendo de todo contenido.La tarea de la lógica consiste según esta doctrina, en fijar dichas formas en cualquier clase de pensamiento, ya se trate de pensamientos simples, ya se trate de otros más complejos y desarrollados. En este sentido es una ciencia teórica, especulativa, porque obtiene sus resultados pro procesos de abstracción y de análisis6.
La lógica tradicional, es una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La lógica tradicional, se basa en el silogismo como razonamiento basado en el juicio categórico aristotélico. Hoy día la lógica utiliza como unidad básica la proposición y las reglas de inferencia en la argumentación discursiva.7
El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico, como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados. Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Previamente se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada. Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas.
La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática. formulado por primera vez por Aristóteles, en su obra lógica recopilada como El Organon, de sus libros conocidos como Primeros Analíticos (en griego, Proto Analytika, en latín –idioma en el que se reconoció la obra en Europa Occidental-, Analytica Priora).
DEAÑO, Alfredo (1974). Introducción a la lógica formal. Alianza Editorial, Madrid.
http://www.google.com/gwt/n?_gwt_pg=0&u=http%3A%2F%2Fwww.liceodigital.com%2Ffilosofia%2Flogica.htm5
https://librosfilosofia.files.wordpress.com/2014/09/deac3b1o-alfredo-2009-introduccic3b3n-a-la-lc3b3gica-formal-alianza-espac3b1a.pdf
PFÄNDER A. (1940). LÓGICA. Espasa-Calpe
COPI, Irving. (1967). Introducción a La Lógica. Buenos Aires, Argentina, Editorial Universitaria.
http://www.monografias.com/trabajos15/logica-metodologia/logica-metodologia.shtml7http://plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/
La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas.
La lógica matemática guarda estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión.
La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente. En la actualidad se considera que la Lógica es una actividad de construcción de lenguajes.
Los estudios de lógica son estudios de lenguaje. Ejemplos de lenguajes formalizados son: la Lógica proposicional, el Álgebra de Boole, el Álgebra de conjuntos. 1.
APORTES MODERNOS
1.1.Friedrich Ludwig Gottlob Frege 8 (8 de noviembre de 1848 - 26 de julio de 1925) fue un matemático, lógico y filósofo alemán fundador de la moderna lógica matemática y la filosofía analítica.
Frege es considerado el mayor lógico desde Aristóteles.
1.2. Gottlob Frege: Teoría de conjuntos, Aritmética.
En 1879 publicó su revolucionaria obra Conceptografía (Begriffsschrift), en la que sentó las bases de la lógica matemática moderna iniciando una nueva era en esta disciplina que había permanecido prácticamente inalterada desde Aristóteles: mediante la introducción de una nueva sintaxis, con la inclusión de los llamados cuantificadores («para todo» o «para algún caso de»).
Fue el primero en distinguir la caracterización formal de las leyes lógicas de su contenido semántico. Una vez fijados los principios axiomáticos de la lógica, acometió la tarea de edificar la aritmética sobre la base de aquélla. Un problema en las revolucionarias obras de Frege es la cantidad de espacio impreso que requiere su notación; no fue realmente hasta la publicación de los Principia de Whitehead y Russell que el poder de la lógica formal, en una notación menos extensa (pero que requiere muchos signos de agrupación) fue apreciable.
1.3. GOTTLOB FREGE.
Logicismo
Frege fue un defensor del logicismo, la tesis de que las matemáticas son reducibles a la lógica, en el sentido de que las verdades de la matemática son deducibles de las verdades de la lógica. Sin
8http://www.geocities.com/athens/parthenon/3749/essay1.html
embargo su defensa del logicismo era de alcance limitado, aplicándola sólo a la aritmética, puesto que Frege permaneció kantiano respecto a la geometría. Su Grundgesetze der Arithmetik Ley básica de la aritmética fue un intento de derivar las leyes de la aritmética a partir de la lógica.
En 1902, con las pruebas corregidas del segundo volumen ya en la imprenta, recibió una carta de Bertrand Russell en la que le advertía acerca de una grave inconsistencia en su sistema lógico, conocida más adelante como la paradoja de Russell. Frege introdujo a toda prisa una modificación en uno de sus axiomas, de la que dejó constancia en un apéndice de la obra. Este golpe a la estructura de su obra prácticamente puso fin a su actividad académica.
Ante la casi total indiferencia de sus contemporáneos, tras la muerte de su esposa se recluyó en su casa y permaneció mayormente en el anonimato hasta que Bertrand Russell lo dio a conocer, ya que llegado a los mismos resultados que Frege de manera independiente estaba en la capacidad de entenderle y fue el primer pensador de importancia en apreciar el gran valor de su obra.
Pese a que el descubrimiento de la paradoja de Russell arruinó los sueños logicistas de Frege éste continuó trabajando y llegó a publicar una serie de importantes artículos, entre los cuales destaca "Pensamiento: Una Investigación Lógica", en donde básicamente se examina el contenido de las proposiciones, aquella parte objetiva que es transmisible a todo hablante en un enunciado declarativo.
En los años sesenta el filósofo de Oxford Michael Dummett publicó una serie de importantes libros sobre la filosofía de Frege que revivieron el interés por su obra y lo reincorporaron al debate filosófico. La tesis logicista afirma que los conceptos matemáticos se pueden definir a partir de los conceptos lógicos, y por ello la matemática puede ser considerada una parte de la lógica.
La tesis logicista no surgió en el siglo XIX, ya Leibniz en 1666 había expresado opiniones de tipo logicista, y de hecho es posible encontrar antecedentes de esta corriente desde Aristóteles.
Sin embargo es G. Frege, con sus trabajos titulados Begriffschrift (1879) y Die Grundlagen der Arithmetik (1884), el primero que comienza a explicar la matemática a partir de la lógica. La obra de Frege no recibió inicialmente mucha atención, hasta que B. Russell, a principios de nuestro siglo, puso de relieve el verdadero significado de dichas obras.
B. Russell y A. N. Whitehead, inspirados en la obra de Frege, publicaron los Principia Mathematica que se considera la obra fundamental de la escuela logicista. B. Russell trata de evitar las paradojas surgidas de la teoría de los conjuntos de Cantor, para ello asocia a los conjuntos un tipo, iniciando así una teoría de los tipos.
La teoría de los tipos de los Principia Mathematica resultó demasiado compleja, y aunque se hicieron diversos trabajos para simplificarla, muchos matemáticos se inclinaron a favor de otras posibilidades de fundamentación, en particular favorecieron la fundamentación de la matemática a partir de las teorías axiomáticas de los conjuntos de Zermelo y Fraenkel o la de Gödel y Bernays.
No obstante, en épocas recientes se han desarrollado teorías de los tipos muy elegantes, que han atraído la atención, no únicamente de los especialistas de la lógica matemática, sino también de los categoristas y de los teóricos de la computación.
Conviene señalar que existen formas de fundamentar en las que los conceptos básicos no son el conjunto, y el de membresía; en ocasiones se ha tomado como concepto primitivo al de función, junto con el de algunas de las operaciones que se efectúan con las funciones, ése es el caso del cálculo lambda introducido por A. Church, y de hecho la filosofía de la teoría de las categorías iniciadas por Eilenberg y S. Mac Lane (1945) apunta también en esa dirección.
En las últimas décadas se ha aclarado que el estudio de ciertas categorías es equivalente al del estudio de teorías lógicas que se habían introducido con propósitos de fundamentación, ése es el caso de las categorías bicartesianamente cerradas cuyo estudio es equivalente al del cálculo lambda con tipos, o el de los topoi que se encuentran estrechamente relacionados con las teorías intuicionistas de los tipos.
3.5.Influencias en otros Filósofos.
El trabajo de Frege influyó en los Principia Mathematica de Russell y Whitehead. Así como en Giuseppe Peano, Ludwig Wittgenstein y Edmund Husserl que fueron otros filósofos profundamente influidos por Frege.
Frege fue también un importante filósofo del lenguaje. La distinción entre sentido y referencia y entre concepto y objeto se deben a él. Más tarde Kurt Gödel en su Teorema de incompletitud demostró que el programa logicista de Frege-Russell era incompleto. Esto es, que todo sistema formal contendrá al menos un enunciado verdadero indemostrable desde el sistema, el así llamado "enunciado de Gödel."
Gilles Deleuze articula su Lógica del Sentido con base en la proliferación infinita de entidades verbales o Paradoja de Frege, la cual "dada una proposición que designa un estado de cosas, siempre puede tomarse su sentido como lo designado de otra proposición."
3.6. La lucha contra el psicologismo
La teoría del significado del lenguaje de Gottlob Frege la podemos definir desde la concepción reinante, de carácter psicologista. Según el psicologismo clásico relativo al significado del lenguaje las palabras refieren a ideas, contenidos mentales de los hablantes. Frege se enfrenta en Sobre sentido y Referencia así a la tradición. Inaugura de este modo la filosofía del lenguaje.
3.7.IdeasPrevias
La tesis según la cual las palabras son signos de ideas es expuesta por J. Locke en su Ensayo sobre el entendimiento humano. Locke, partiendo de la finalidad comunicativa del lenguaje, define las palabras como “signos de concepciones internas”.
Estas “concepciones internas”, ideas, son entidades que están contenidas en nuestra mente; el hombre mediante palabras comunica tales ideas. Las ideas vienen de nuestra experiencia sensible. Para Locke no existe una relación directa entre el lenguaje y el mundo, sino que el lenguaje es una herramienta con la que comunicamos nuestras ideas.
Por su parte, Frege comienza, en Sobre sentido y referencia, preguntándose por los enunciados de identidad, de los cuales distingue dos tipos: a = a a = b y razona de este modo: Los enunciados del tipo (1) son analíticos en sentido empírico, y, por tanto no añaden ningún tipo de conocimiento, pero no ocurre igual con los enunciados del tipo (2).
La relación de identidad que aparece en estos enunciados no puede ser entre signos de objetos ni entre objetos. Si la identidad es entre objetos la información que nos proporciona (1) no es diferente de la que nos proporciona (2). Si la relación se da entre nombres de objetos, entonces no estamos diciendo nada extralingüístico.
Así pues Frege soluciona esta cuestión distinguiendo en las expresiones la referencia y el sentido. La referencia es el objeto mismo que designamos con un signo, el sentido expresa el modo de darse el objeto. Es decir, con (2) expresamos dos modos diferentes de referirnos a un mismo objeto.
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Magister en arquitectura, Diplomado en Planeamiento urbano y regional en la Universidad de Edimburgo, UK. Maestría en epistemología en la UNMSM. Estudios de Doctorado en Filosofía en la UNMSM, Lima, Perú. Catedrático principal de la UNI-FAUA 2
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Percy Acuña Vigil1
En este escrito se presenta información sintetizada sobre lógica formal y sobre los aportes a ella a partir del trabajo de Gottlob Frege.
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1 1. APORTES MODERNOS ...
1.1. Friedrich Ludwig Gottlob Frege ...
2. OTROS APORTES ...
2.1. DAVID HILBERT ...
2.2. GIUSEPPE PEANO ...
2.3. GEORGE CANTOR. ...
2.4. ALFRED TARSKY ...
2.5. NOAM CHOMSKY. ...
2.6. NICOLÁS BOURBAKI. ...
2.7. BERTRAND RUSSELL: ...
2.8. HENRI POINCARÉ ...
2.9. ALFRED TARSKI: ...
2.10. TOMAS MORO SIMPSON ...
2.11. PATRICK SUPPES: ...
3. AXIOMATIZACIÓN DE LA LÓGICA. ...
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